このところ３回にわたり「フーリエの冒険」を基に、進めています。 本日は、以前に説明した「オイラーの公式」を導出する手順を、この本を参考に説明いたします。今日で、１０章（430ページのうち349ページ）まで終了し、あと３章残すだけになりました。あともう一息です。
資料はこちら → オイラーの公式2
p.1 微分しても積分しても同じ元と同じ関数をご存知ですか？ 理系の方は直ぐ思い出しますね。左上の図を見てください。ｙ＝２ｘをｘで微分するとｙ’＝２、ｙ＝ｘ２を微分するとｙ’＝２ｘですね。グラフでは元の関数を青線、微分したものを赤線で描いています。明らかに微分したものは異なっています。 それではｙ＝ａｘを微分するといかがでしょうか？ 微分するとｙ’＝（ｌｎａ）aｘという式になります。ａ＝２あるいはa=3として元の関数と微分した関数をグラフにしました。a=3の関数ｙ＝３ｘの微分前後の差が小さいですね。a=2の関数ｙ＝２ｘの場合とｙ＝３ｘの場合では微分した関数の位置が反対にあります。ということは、微分しても元の関数と同じになるのは、ａが２と３の間にあり、３に近い数字であることが推測されます。 正解はa=2.71828182・・・の時に微分しても同じ関数になります。この2.71828182・・・を「ｅ」と表します。数学には円周率と共に頻出する不思議な値です。 したがって、微分しても積分しても元の関数と同じものはｙ＝exという関数なのです。 この本のいいところは、このように絵でイメージをつけさせてくれるところです。
p.2 y=eaxという関数を１階微分するとｙ’＝a・eax、2階微分はｙ’’＝a2・eax、・・ｎ階微分するとy(n)=an・eaxとなります。y=eixの場合は、１階微分がy=ieix、２階がy=－eix、３階がｙ＝-ieix、４階がy(4)=eixとなり、元の関数に戻ります。
p.3 テーラー展開とかマクローリン展開という式を見たことがありますか？ 学生時代に見た覚えがありますが、どう使うか？まで教えてくれなかったのですが、この「フーリエの冒険」を読んで使い方がよく理解できます。関数f(x)の式が高次のｘの関数の場合、係数a0、a1、a2・・・をどうやって求めるか？ 微分してはx=0を入れていけば順番に係数が求まっていきます。 フーリエ展開で係数を求めていくのに似ていますね。
p.4 マクローリン展開を実際にcosxとsinxで実行してみます。各々４階微分まで実施してx=0を代入して係数を求めています。１つおきに係数が０になっています。
p.5 今度はcosx+isinｘという関数を４階まで微分して係数を算出してみます。そうすると、係数は１、ｉ、－１、－ｉ、１となり４階目で元の１に戻ります。この形、どこかで見覚えありませんか？ p.2でeixを微分した時の係数そのものです。このことから、eix＝cosx+isinxが成り立ちます。 この式が有名な「オイラーの公式」と呼ばれているものです。 この式が意味するところは、ｘをθにした右の図そのものです。eiθは、いろいろなところに出現してきます。
今は面白くないかもしれませんが、興味が出てくるかもしれません。eiθは、フーリエ変換の仕上げに再登場してきます。