本日のブログは少し専門的な内容になりますが、私もようやくイメージがついてきたので説明します。 研修生に品質工学を教えているのですが、実験に使用する「直交表」に関する疑問が多いので、参考になればと資料を作成してみました。もともとこの「直交」という概念は数学から来ていて、２つのベクトルが直角になっている状態とイメージしていただければわかりやすいです。この概念が理解できると、「フーリエ変換」理解の助けにもなります。
説明資料はこれです。 → 直交表
p.1 「直行表」ではありません。会社人間は、つい会社に立ち寄らないで出張する「直行・直帰」の「直行」を使ってしまいます。私の先生であるコンサルの方にも、よく注意されています。
p.2 ３つの疑問について、私なりの解釈を述べていきます。
p.4 制御因子A、B、C、Dに各々水準１、２及び３があった時に、各々の因子でどの水準が一番SN比が高い（安定、ばらつきが小さい）かを示す「要因効果図」がこのようになっていたとします。平均値をゼロとします。
p.5 品質工学では、相互作用が出やすいので使用しませんが、L9の「直交表」を用いて説明します。左上が直交表の割付表です。そこに、p.4で示した各制御因子の水準のSN比を代入したものが、左下の図です。実験１～３、実験４～６、実験７～９のグループに分けて制御因子Aだけに着目するとA1は10+10+10/3＝10、A2=（-6）+（-6）+（-6）/3＝-6、同様にA3＝-4となります。 これに対して、B、C及びDの効果は０（ゼロ）となり、A列だけに着目すれば水準１、２及び３の効果は評価できることがわかると思います。
p.6 制御因子Bについても同様です。B1に関する実験は、１、４及び７、B2は実験２、５及び８、B3は実験３、６及び９を集めてきて平均すればよいわけです。L12やL18の直交表いずれでも同じです。
p.7 上述の説明は、数学的な説明はないのでイメージしていただければ結構です。もう少し深堀したい方は次ページからお読みください。
p.8 この資料は昨日紹介した「無料で学べるオンライン大学講座」の統計講座での資料を引用しています。 ｘ軸が民営借家の割合、ｙ軸が未婚割合です。各地域でのデータについて、ｘとｙの相関をグラフに描いています。 Excelでやれば相関係数を算出すれば直ぐに答えが得られます。 若い技術者には、相関係数の原理を理解しておいてもらいたいと思います。ｘとｙの平均値を算出して各ｘ及びｙから差し引いたものの積の和の平均値を「共分散」と言います。 因みに、各ｘからｘの平均値を差引いたものを２乗した和の平均値を「分散」と言いましたね。
p.9 相関係数＝（ｘとｙの共分散）/{（ｘの標準偏差）×（ｙの標準偏差）}で計算されます。 共分散が正なら右肩あがり、負なら右肩下がりの相関となります。分散＝（標準偏差）２ですから、共分散を（ｘの標準偏差）と（ｙの標準偏差）で割って傾き具合を計算しているというイメージです。
p.10 数学的には、ｘ・ｙ（ベクトルｘとｙの内積）＝ｌｘｌ・ｌｙｌｃｏｓθ で表します。 ベクトルｘとｙの内積は、p.8の共分散、ｌｘｌとｌｙｌはベクトルｘとｙの長さで標準偏差に相当します。 相関係数ｒは、ベクトルの内積を各々のベクトルの長さで割ったｃｏｓθ なのです。 ベクトルｘとｙが同じ方向で一致していると、θ＝０で相関係数ｒ＝１、ベクトルｘとｙが垂直の場合θ＝90°、cos90°＝０で相関係数ｒ＝０となるわけです。相関係数ｒ＝０が「直交」なのです。 直交表の各制御因子の列がベクトルと考えてください。２つの列（ベクトル）の相関係数を計算すると０（ゼロ）になるように直交表は作られています。
p.11 右上の直交表の割付に、p.5と同様に各制御因子の水準のSN比を代入してみます。Bとｃ列、ｃとD列というように任意の２列の共分散及び標準偏差１と２を計算してみると共分散がすべて０（ゼロ）なので、相関係数も０（ゼロ）になることが明らかですね。つまり、着目している列以外は全て直交する（相関がない）のです。この性質を用いると、各列毎に独立してどの水準が効果が大きいかを評価できるのです。
p.13 直交表の各行について「実験回数がN=1でよいの？」という質問については、B1、B2およびB3について各々６回も評価しているのです。B列をD列に置き換えても同様です。
p.14 制御因子AからHまでの組み合わせは２×３７＝4,374通りありそれを１８通りで効果をみることが可能です。
いかがですか？ 直交表が有効なことは少し理解していただけましたでしょうか？ まだまだかもしれませんので、説明がもう少し進化するように頑張ります。