昨日説明した三進数を用いて「悪魔の階段」を作成します。0から１に間で微分係数は０であるにもかかわらず連続という不思議な関数です。微分係数０ということは傾きがゼロということですね。傾きがゼロなのに階段のように上っていくのです。
資料はこちら → 悪魔の階段
p.1 左図のような階段を作ります。 この階段は完全なものではありません。破線の傾斜部はもっとギザギザになっていきます。 階段を作成する前に、「カントール集合」を説明します。長さ１の線分を3等分して、真中を取り除きます。残った左右の線分を各々３等分して、真中を取り除きます。同様なことを無限回繰り返して、残った集合を「カントール集合」と呼びます。 次は決まり事です。 １．横軸Xを三進数に置き換えます。２．その三進数の小数に１がある場合、最初の１を残してそれ以降は全て０にする。３．小数の中に２がある場合、全て１に置き換える ４．得られた三進数を二進数C(x)に読み替えて縦軸にします。
p.2 横軸ｘの1/3の座標は三進数にすると0.1(3)です。決まり事では、そのまま二進数0.1(2)となります。これは十進数にすると1/2です。 横軸の2/3の座標は三進数では0.2(3)です。決まり事により２は１になりますので、0.1(2)となり十進数にして1/2です。1/3～2/3の間の16/27は三進数では、0.121(3)です。決まり事２により、小数点以下第１位に１があるので、第２位以下は全て０となるので0.1(2)となります。これも十進数では1/2です。 同様に1/3～2/3の間の三進数は全て0.1(2)、十進数では1/2となります。従ってc(x)は0.1(2)、十進数では1/2の水平な線分にプロットされます。横軸が23/27及び8/9は三進数にすると、0.212(3)及び0.22(3)となり、上記決まり事により0.11(2)、十進数は3/4となります。縦軸の3/4の水平線となります。 この操作を繰り返していくと悪魔の階段が形成されていきます。
この階段SCRATHで描いているものを見つけました → https://scratch.mit.edu/projects/11048233/
先日紹介した高木関数をSCRATHで描いた方と同じかな？ 右上の「中を見る」をクリックするとプログラムを見ることができます。 この悪魔の階段は、フラクタル図形にも関係があるようです。