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信じると成功確率高まる?

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ベータ分布の面白い事例が「楽しみながら学ぶベイズ統計」(著者:ウィル・カート 発行所:SBクリエイティブ)にありましたので、紹介します。

資料ご覧ください。 → ハンソロ

合わせてExcelファイルもご覧ください → ハンソロ

p.1 「ハン・ソロ操縦のファルコン号が敵の戦闘機から逃れて、小惑星帯に突入する場合に、無事に通過できる確率は?」という問題です。ロボットのC-3POは過去のデータを基に1/3700の確率であると警告しますが、ハン・ソロは「確率のことは言うな!」と言って突入を試みます。 この場合、ハン・ソロを信じるか、信じないかにより事後確率は変わるのです。スターウォーズでのハン・ソロの活躍を見ていれば、この窮地は必ず乗り切るだろうという事前確率により、事後確率は楽観的な数値になり得るのです。成功失敗を議論するには「ベータ分布」が利用できます。過去のデータでは成功数:α=2失敗数β=7400となり、尤もらしい確率なので「尤(ゆう)度」と呼びます。 ハン・ソロは他のパイロットに比べて卓越した技量があるとすると、生き延びるのがα=20,000回失敗がβ=1回とします。事後確率は、成功と失敗回数の合計を各々αβとします。

p.2 尤度、事前確率及び事後確率について、ExcelBETADIST関数でxを0~1まで変化させて確率密度関数f(x)を算出した値を表とグラフに示します。尤度はC-3POが過去のパイロットの小惑星帯突入結果よりはじいた確率密度で、確率は0に近いところにピークがあります。 映画を観ている人やハン・ソロを知っている人は必ず成功すると期待しているので、事前確率はx=1に近いところにピークが現れます。 事後確率は、尤度と事前確率に用いた成功数と失敗数の各々の和で得られたαとβを用いて計算します。この結果x=0.7付近にピークがあります。 1-0.7=0.3はもしかすると失敗するかもしれないというスリル感を示しています。 7,400名のパイロットに比べて、ハン・ソロはずば抜けた技量を持っていたので通常の統計計算では計ることができなかった訳です。

このベータ分布は面白いですね。信じることにより事後確率が高まるのです。 最近は、このような統計学の応用が種々の方面で利用されているようです。物事信じれば、上手く行くようです。

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