昨日「コレスポンデンス分析」の話をしました。この原理を少し理解したので、忘れないうちの資料にまとめておきます。コレスポンデンス分析はパラメータが多いので、２つのパラメータで説明します。
資料ご覧ください → 数量化３
p.1 対象者A～Dに洋食と和食のどちらが好きかをアンケートしました。好む場合１、そうでない場合を０とします。どちらでもの人は両方１とします。対象者がサンプル、和・洋食がカテゴリーと呼びます。各々の合計を計算します。a1～a4及びb1、b2がスコアと呼ばれるもので、サンプルデータとカテゴリデータが一番相関が高い軸に投影した数値です。p.5にグラフを載せておきますので、ご覧になるとイメージつくと思います。今回、相関係数が大きくなるためのスコア値を求めるが最終目標です。分散、平均値及び共分散はスコアとアンケート結果を用いて、表の周りの数式になります。
p.2 ここからは数式の変形が続くので、読み飛ばしても構いませんが、方針だけは理解しておいてください。相関係数Rが大きくなるためのai及びbiを求めるのが最終目的です。この際にラグランジュの未定乗数法という便利な手法を用います。以前にも説明したので、詳細は「制約条件を利用して最適値を求める」「山の頂上はどこだ？」「目標（山の標高、位置）にベクトルを合わせこむ」をご覧ください。今回は平均値を０、分散１になるように標準化するので、制約条件は平均値＝０、分散＝１。相関係数の分子は共分散Vabですが、これを最大にしたいので、共分散から制約式に係数をかけたものを差し引いた関数Gを定義します。このGをa1～a4及びb1、b2で偏微分して０とした式が６つできます。
p.3 ６つの式にa1～a4及びb1、b2をかけて整理すると、λ＝μが得られるので、μをすべてλに置き換えます。
p.4 λの２次方程式を解くとλ２＝１と0.583の二つが得られます。１は変化しないので、0.583だけ用います。これによりa1～a4及びb1、b2及び相関係数が求められました。このλは固有値ですね。
p.5 a1～a4及びb1、b2を表の中に書き込み、数直線上に位置を示しました。年齢により好みがありそうだということを示しています。
パラメータが多くなると、これらの式を行列で解くことになります。統計ソフトの中身はブラックボックスですが、このようなアルゴリズムによるプログラムが動いているはずです。