「ようこそ、数学クラブへ」（著者：キム・ミニョン 発行所：晶文社）は、わかりやすく書かれた本でした。「靴ひもの公式」の説明があり、この手法を用いれば、複雑な形状の面積も計算できるというものでした。実際にできるか、摩周湖の地図を用いて計算してみました。
資料をご覧ください → 座標法
p.1 先ず「靴ひもの公式」は「座標法」とも呼ばれていて、測量士のテスト問題にも登場するようです。左図の三角形の面積を算出する際に、A、BおよびCの座標を(x1, y1)、(x2, y2)そして(x3, y3)とします。三角形の面積は、赤の四角形から青の四角形と緑の四角形の面積を差し引いたものなので、座標の数値を用いて計算して整理します。靴の紐を通す孔にA、BおよびCの座標を割り当て、一番下にAの座標を加えます。緑の紐は掛算後プラス、オレンジの紐は掛算後マイナスにします。これらを足し合わせて２で割ったものが、上述で計算した三角形の面積の式と同じになります。この考え方は、三角形以外の形状にも拡張できるのです。
p.2 上述の本では、湖の面積を「靴ひも公式」で計算できると書かれています。そこで、実例で試してみました。手順を説明します。先ず、①Google Mapなどで地図をコピーしてファイル保存（縮尺の部分も図の一部に入れる）します。②ImageJを起動→保存したファイルをオープン。③マルチポイントのアイコンをクリック。④湖の縁をクリックしてポイントとする（クリックは面倒臭いです。もっと良い方法はあるとは思いますが）⑤最後に縮尺の２点も忘れずにクリックしてください。⑥Analyze→Measureをクリックすると、⑦各ポイントのX、Y座標が表示されますので、コピーしてExcelに貼り付けます。⑧座標データを補正して距離に換算します。今回の場合、Excelデータの153行と154行のｘ座標の差102.7ポイントが1kmに対応しているので、各ｘ及びｙ座標の数値を102.7で割るとkmの数値に変換されます。⑨ ｘ及びｙの列の下端にx１とy１を追加しておきます。⑩靴ひも公式で計算して得られた実行結果は、19km2でした、実際の面積は19.6km2なので、誤差3%程度で求めることができました。クリックの誤差が大きいと思いますので、結構いい線で計算できることを確認しました。この方法は実際にも汎用的に使われているのでしょうね。この靴ひもの公式は、イメージとしても覚えやすいですね。
ImageJを使って見たい方は、「優れもの画像ソフト」、面積は上述の方法でなくとも他の方法もあります→「不定形でも大丈夫」、「間違い探せるか？」をご覧ください。