テイラー展開やマクローリン展開という微分係数が入った訳のわからない式が出てきて、数学が嫌いになった方もおられると思います。以前紹介した「物理数学の直感的方法」（著者：長沼真一郎 発行所：講談社）にイメージし易い図が載っていましたので、アレンジしてみました。
資料をご覧ください → テイラー展開（直感）
f(x)という関数において、x=aの周囲でテイラー展開した式です。 この式の意味を図で示したのが、左下図になります。この関数の１階微分f'(x)は、f(x)のx=aにおける接線（青線）になります。接線の傾きがαとするとｘが1増えるとｙはα増えます。ｘ=aから３つ増加した場合、ｙは3α増加するので、f(a)＋３αになりますが、f(x)の曲線よりはまだ不足しています。そこで2階微分係数をβとすると１，２，３のようにβが積み重なり、3階微分係数をγとすると１，３、10のように積み重なっていき、３階微分の増分をf(a)に積み重ねるとf(x)に近似した値になります。 これを、h=x-aとして一般化します。βを微分係数にした場合は、三角形の面積、γを微分係数とする場合は、三角錐の体積になります。通常関数f(x)の近似は、3階微分までで十分です。 難しい式も、このように図でイメージしておくと理解が深まります。