イメージと異なるパラドックスはありますが、数学の世界にはたくさんあります。体積は有限なのに、表面積が無限な立体の話です。「ガブリエルのラッパ」がその立体です。
資料はこちら → ガブリエルのラッパ
f(x)=1/xの曲線をx軸の周りに回転させたラッパ状の立体です。体積Vは、πr２のrに1/xを代入して１から∞まで積分したもので、計算結果はπになります。表面積Aは、左下のような丸い輪の面積を積分したものですが積分が大変なので、表面積より小さい断面積の積分を算出します。これが無限大になるので、表面積も無限大になるわけです。 表面積が無限大になるのはわかりますが、体積が有限なのがイメージに合いませんね。 体積は有限なので、ガブリエルのラッパにペンキを満たします。表面積は、内側も外側も同じ（ラッパの厚みはゼロ）です。内表面がペンキに触れているので、塗ることができるように思うのですが、有限なペンキで無限の表面積は塗れないのですね。頭が混乱してきました。 数学は、おかしな世界です。