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直観とちがう確率

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不確実性を飼いならす 予測不能な世界を読み解く科学」(著者:イアン・ステュアート 発行所:白揚社)を紹介します。最初は読み難い本と思いつつ読み始めましたが、意外にためになる本だと思いました。気になったベイズ統計について、資料にしてみました。

資料はこちら → ベイズ追加

p.1 以前「統計クイズでアレルギー解消」の問題を少し改変しています。先ず、問題1 ある家族には、子供が2人。女の子が1人いることが判明した。残りの1人が女の子である確率はどのくらいか? を考えてみてください。

p.2 直感的には、一人女の子で二人目は1/2の確率だと考えがちですね。問題文には、生まれ順の記載がないので、実際は、女女、男女、女男、男男の4パターンがあります。女の子が一人いるという条件がなければ、女女の確率は1/4ですが、今回は男男を除外しますので、3パターン中の1ということで確率は1/3となります。条件設定により標本空間が4から3通りに減じたわけです。

p.3 問2 年上の子供が女の子。二人とも女の子である確率は? はいかがでしょうか。

p.4 年上の子供という条件が付きますので、直感通り1/2の確率となります。

p.5 問3 少なくと一人の子供は火曜日に生まれた女の子。二人とも女の子である確率は? これはいかがでしょうか?

p.6 この場合は、このようなマトリックスを描いて場合を数えれば簡単です。右上が第1象限半時計回りに第2、第3及び第4象限とします。今回二人とも女の子なので、第4象限(男の子二人)の7×7=49パターンは消えます。二人とも女の子は第2象限となります。女の子の何れかが火曜日に生まれるパターンは濃い灰色部分で交差してダブっているので27(=14×2-1)通りあります。二人とも女の子になるのは赤枠で、13(=7×2-1)通りです。したがって赤枠の確率13/27となり1/2よりわずかに小さい確率となります。 一人が女の子のパターンは第1,2及び3の合計なので147(=49×3)通りで、二人とも女の子は第2象限の49通りなので、二人とも女の子の確率は49/147=1/3となりますね。 第1子が女の子は、98(=49×2)通り、二人とも女の子は第2象限の49通りなので、二人とも女の子の確率は49/98=1/2となります。条件が変わると、同じ二人女の子になる確率も変わってくるのです。ベイズ統計の面白いところです。以前「信じると成功確率高まる?」でスターウォーズのハン・ソロを信じれば事後確率が変わるという話題をとりがえましたので、ご覧ください。

p.7 問4 一人の子供はクリスマスに生まれた女の子。二人とも女の子である確率は? はいかがでしょうか?

p.8 p.6と同様な表を書いてパターンの数を数えます。先ずクリスマスに生まれる女の子のパターン数1459(=365×2-1)通り、その内二人とも女の子のパターン数729(=365×2-1)通りです。したがって、求める確率は729/1459=0.4996とほぼ1/2となりました。

今回、認識して欲しかったのは、確率を求める際には条件を見極めないといけないということです。

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