「もこもこした雲のような関数」で高木関数を紹介しましたが、今回は「悪魔の階段」と呼ばれている関数です。「ヘンテコ関数雑記帳 解析学へ誘う隠れた名優たち」（著者：佐々木浩宣 発行所：共立出版）に掲載されているのですが、まだ理解に至っておりません。この関数の説明に「三進数」なる語句が出てくるのです。 二進数は聞いたことがありますね。0と１で表された数字ですね。コンピュータはこれで計算や情報をやり取りしているわけです。人間の四則演算は十進数ですね。 また十進数の分数を三進数で表すと幾つになるかという話もでてきます。
資料をご覧ください。→ 三進数
p.1 十進数を２の累乗の和で示すとき、その係数を並べたものが二進数ですね。例題をご覧ください。 これを三進数で表すとどう表現されるか？が問題です。
p.2 二進数と同様な３の累乗和で計算できます。他の進数も同様な考え方で計算可能です。 右表に対比表を載せておきます。
p.3 十進数の1/2 は、三進数ではいくつ？ という問題です。 私は、分数まで考えたことがなかったのですが、３の累乗の和を少数点以下まで拡張させた式をご覧ください。三進数で表す場合は、小数点が加わります。１/3を初項とする等比級数を考えます。この和の極限をとると1/2となります。つまり1/2は1/3を初項とする等比級数の和で表されるんです。 この式と一番上の一般式を見比べて1/2の三進数は、0.1111・・・と表すことができます。
p.4 十進数の1/3は三進数で表すと？ これは２通りの答えがあるのです。0.1と0.0222・・・となります。どちらを採用するか？ 何も制約がなければ、無限小数を選択するそうです。 この辺が数学のわからないところです。 ２通りあるというのもしっくりしませんが。
今日は、「悪魔の階段」の準備までしか理解できませんでしたので、ここまでです。