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傾きがゼロなのに上がっていく階段

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昨日説明した三進数を用いて「悪魔の階段」を作成します。0から1に間で微分係数は0であるにもかかわらず連続という不思議な関数です。微分係数0ということは傾きがゼロということですね。傾きがゼロなのに階段のように上っていくのです。

資料はこちら → 悪魔の階段

p.1 左図のような階段を作ります。 この階段は完全なものではありません。破線の傾斜部はもっとギザギザになっていきます。 階段を作成する前に、「カントール集合」を説明します。長さ1の線分3等分して、真中を取り除きます。残った左右の線分を各々3等分して、真中を取り除きます。同様なことを無限回繰り返して、残った集合を「カントール集合」と呼びます。 次は決まり事です。 1.横軸Xを三進数に置き換えます。2.その三進数の小数に1がある場合、最初の1を残してそれ以降は全て0にする。3.小数の中に2がある場合、全て1に置き換える 4.得られた三進数を二進数C(x)に読み替えて縦軸にします。

p.2 横軸xの1/3の座標は三進数にすると0.1(3)です。決まり事では、そのまま二進数0.1(2)となります。これは十進数にすると1/2です。 横軸の2/3の座標は三進数では0.2(3)です。決まり事により2は1になりますので、0.1(2)となり十進数にして1/2です。1/3~2/3の間の16/27は三進数では、0.121(3)です。決まり事2により、小数点以下第1位に1があるので、第2位以下は全て0となるので0.1(2)となります。これも十進数では1/2です。 同様に1/3~2/3の間の三進数は全て0.1(2)、十進数では1/2となります。従ってc(x)は0.1(2)、十進数では1/2の水平な線分にプロットされます。横軸が23/27及び8/9は三進数にすると、0.212(3)及び0.22(3)となり、上記決まり事により0.11(2)十進数は3/4となります。縦軸の3/4の水平線となります。 この操作を繰り返していくと悪魔の階段が形成されていきます。

この階段SCRATHで描いているものを見つけました → https://scratch.mit.edu/projects/11048233/

先日紹介した高木関数をSCRATHで描いた方と同じかな? 右上の「中を見る」をクリックするとプログラムを見ることができます。 この悪魔の階段は、フラクタル図形にも関係があるようです。

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