数値解析の続きです。 今回は非線形の連立方程式を解いてみます。
資料です → 数値解析その6（非線形連立方程式）
使用したExcelファイル。合わせてご覧ください → 数値解析その6（非線形連立方程式）
p.1 非線形とは、右上図のように円あるいは放物線に似た４次曲線のようなものです。この２つの曲線の交点を求めようという問題です。f(x, y)とg (x, y)の関数のテイラー展開の一次項のみを考えます。この何れもが０となる∆xと∆yを決めるために以下の連立方程式を解きます。先週の行列を用いた解法になります。これと「ニュートン・ラフソン法」を組み合わせます。数値計算をし易くする漸化式の形になっています。
p.2 黄色の網掛が問題です。f(x, y)とg (x, y)が０になるグラフを描くと、前者が円（半円になっていますが、実際は円です）、後者が放物線ライクのグラフになります。行列の部分に微分した式を書き込みます。 右側にExcelの実行内容が書かれています。step０はｘ＝1、ｙ＝2として計算します。左辺の行列に計算した数値が入ります。この逆行列を先週説明した手順①～③で求めます。次にf(x, y)とg (x, y)の行列と逆行列を掛けるとΔｘとΔｙの数値が計算できます。右下のｄｘとｄｙです。
p.3 ⑦step１はstep０のｘ及びｙより上述で求めたΔｘとΔｙを差し引いた値を用います。⑧青枠部分をコピーします。以降も青枠部分をコピーしていきます。f(x, y)とg (x, y)がいずれも０になった時のｘ及びｙが解となります。解(1, 1.73205)は右図の緑の交点の座標ですね。
p.4 もう１組の解も同様な計算をしますが、グラフより解の近傍の点であるｘ＝-1、ｙ＝2をstep0として計算して、f(x, y)とg (x, y)がいずれも０になった時のｘ及びｙが解となります。解(-1.2757, 1.5403)が右図のピンクの交点の座標ですね。
数学的に解くのが難しくても、数値計算でステップを繰り返すと解をえることが可能になってきます。世の中には、数値計算で求める事例の方が多いと思います。是非、身に着けて欲しいと思います。