経済にも「ラグランジュの未定乗数法」が利用できる話をするために、「投資に関するリスクとリターン」という話をします。株の投資家や経営者になった場合に役に立つかもしれません。私は経済の専門家ではありませんが、勉強したことを少し説明します。
資料はこちら → リスクとリターン
p.1 「期待収益率」の定義を上に書いておきます。表をご覧ください。A、B及びC社の収益が天候により異なります。天候の確率がカッコの中です。将来の天候を考慮した期待される収益率の平均を算出したものが「期待収益率」です。表の下に計算式があります。A社は晴れで50％、C社は雨の際に50％の収益率会社ですが、天候の確率が異なるので、「期待収益率」に差異が生じることになります。
p.2 期待収益率に対するリスクは「ばらつき（分散）」あるいはその平方根である「標準偏差」で示します。計算式と、収益率の分布を絵に描いておきます。期待収益率が分布の平均値です。 A社は収益率は高いですが、リスクがB社より高いことがわかります。経済の世界では、「ばらつき」がリスクになるのですね。ここにも標準偏差が登場してきました。
p.3 期待収益率（平均値）と標準偏差(リスク）の計算結果を表に示しています。「ポートフォリオ」と言う言葉が良く登場してきますが、この場合は複数の会社に組み合わせて投資する案件のことを呼びます。
p.4 「共分散」という言葉は、既に「いい加減に覚えると後が大変」の添付資料p.4の式をご覧ください。相関係数＝共分散/（Aの標準偏差×Bの標準偏差）の関係があります。各天気における（A社の収益率ーA社の期待収益率）×（B社の収益率ーB社の期待収益率）を算出し合計したものがAとBの共分散です。AとBの相関係数は、共分散をAとBの標準偏差で割ったものになります。
p.5 「無差別曲線」は、リスクとリターンの関係を示します。 リスク回避者は、リスクに応じてリターンも多く要求しますので、右肩上がりの曲線になります。
p.6 投資案件がAとBの２つあり、期待収益率と標準偏差を表に示します。投資比率Wを変化させた際の「ポートフォリオ期待収益率」及び「標準偏差」を計算します。この際に、AとB案件の相関係数が影響してきます。標準偏差（リスク）は右下の式（赤字）で表されます。相関係数ｒが1、-1及び-0.4での標準偏差の計算結果を表に記しました。また、横軸をリスク、縦軸にリターン（ポートフォリオ期待収益率）として、プロットした図を描いています。
p.7 相関係数-0.4のリスク・リターン曲線のうち、赤の部分を「効率的フロンティア」と呼びます。p.5の無差別曲線はいろいろ描けます。効率的フロンティアに無差別曲線が接する場所が、「最適ポートフォリオ」と呼ばれます。
この最後のグラフ、数日前に見た記憶ありませんか？ 等高線が接した「・・・」です。