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P-1APのご利益

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本日は風邪をひいたのか、絶不調ですが、ブログ書いています。  昨日、表現行列「P-1AP」は便利な使い方が有るという話をしました。

資料ご覧ください。 → 線形代数その4

p.1 対角行列ご存知でしょうか? 対角線に数値があり、それ以外が0の行列です。 対角行列同士の掛算は対角線の同じ位置の数値の掛算になります。逆行列も同様です。 対角行列の累乗は、対角線上の数値のn乗の行列になります。

p.2 行列Aの固有値固有値ベクトルを求めます。固有ベクトルpはゼロでないので、左下の行列式はゼロになります。これより固有値λあるいはと求まります。固有値2及び5について固有ベクトルを求めます。

p.3 A・固有ベクトルp=λ・固有ベクトルpの式にp.3で算出した値を入れて計算していきます。固有値の行列はうまい具合に対角線上に固有値が来るのです。固有値ベクトルの行列をPとするとP-1AP=(Aの固有値の対角行列)となるのです。 これは物理数学多変量解析あるいは画像処理などのマトリクス計算等では演算を効率する非常に有力なツールになるのです。

p.4 p.3を一般化したものです。 少々カラフルになり過ぎました。

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