昨日、ＴＶ番組で「加齢性難聴」の話題がありました。歳をとるにつれて、子音が聞き取り難くなるそうです。この話を聞いて、やりかけのブログがあったことを思い出しました。 以前お勧めの本で紹介した「フーリエの冒険」を途中まで説明しましたが、最後まで終わっていませんでした。 第1話は、波を合成する「フーリエ級数」を第２話は、合成波を成分の波に分解する「フーリエ展開」でした。 今回は、理論的な「フーリエ展開」を実用化する場合の「離散フーリエ展開」に関する説明です。 人や楽器の音をマイクで拾って、周波数特性を解析したい場合、音を連続的にサンプリングすることはメモリーを喰い、計算も大変になります。したがって、ある一定周期の間にサンプリングのタイミングを設定してデータをサンプリングすることになります。 こんな飛び飛びのサンプリングデータで周波数特性を解析できるか疑問になると思いませんか？ 適切なサンプリングタイミングを設定すれば、解析可能なのです。資料を使って説明したいと思います。
説明資料はこちら → 離散フーリエ展開
p.1 前回説明した「フーリエ展開」のおさらいです。 左上の合成波ｆ（ｔ）は、右上の黄色の部分の方法を用いて、各周波数成分の振幅AnあるいはBnを算出していきます。「フーリエ級数」とは、いろいろな振幅、周波数の波を足し合わせて合成波ｆ（ｔ）にすることです。
p.2 合成波をよく見ると、周期T毎に同じ形の波が繰り返されています。ただしこの時点では、この波の関数ｆ（ｔ）は数式で表すことはできません。周波数特性が分かってしまえば、「フーリエ級数」でｆ（ｔ）を数式として表すことはできるのです。では、どうするか？ です。 関数ｆ（ｔ）の積分（つまり緑色の面積）がわかれば、なんとか計算できそうです。
p.3 面積は、短冊状にしてその短冊の面積を合計すればよいですね。求めたいのは、緑色の面積です。左上は10分割の短冊にして、各々の面積の合計をしています。短冊の左上の角と青い曲線ｆ（ｔ）の接するところの振幅の数値を読みます。短冊の面積と同じ位置の緑色の面積は大きかろうが、小さかろうが気にしません。短冊の横幅は、1秒を１０分割しているので0.1です。一番左の短冊の面積は。143×0.1＝14.3となります。同様にして、合計の面積を出すと69.2となります。左下は20分割にしますので、短冊の横幅は0.05となります。短冊の縦の振幅を読み取って、合計の面積を求めると70となります。 この短冊の横幅を無限に小さくしたものが積分ですね。短冊の横幅を小さくするほど面積の精度は増しますが、データ数は飛躍的に増大して処理時間が増大します。
p.4 表は、合成波を作成したExcelのデータです。合成波のA0は70にしていましたので、上記の１秒を20分割した0.05秒でサンプリングすれば、周波数解析できそうなことがわかります。
p.5 A1を求めます。これは、ｆ（ｔ）にcosωｔを掛けたものの面積を短冊にして求めます。cosωｔは振幅１で、周期T=1のところで１周期になるものです。今回、短冊の面積は10となり、右下の式から2倍してA1＝20となります。
p.6 上述のA1=20の値も、合成波の成分であるcos波の振幅20と一致しています。
p.7 以上のようにもとめた振幅AnとBｎを、横軸の周波数０、１、２、３、４Hzに対して棒グラフで示すと、周波数特性図を描くことができます。
p.8 2個のデータがあれば１回の上下の波は解析可能です。このようにｆ（ｔ）全てのデータではなく、飛び飛びのデータで成分の解析をすることを「離散フーリエ展開」と呼びます。
p.9 周期的な波があった場合、どこで切り出せばよいか疑問を感じませんか？ 結論から言うと、周期Tが一定であれば、どこでも構いません。 ただし、振幅AnとBnの値はサンプリング位置によって異なります。真中左と右ではA1とB1の値が異なります。これ以外のAnとBnも異なります。ただし、これらの値を使えば、元の波の形に戻ります。 p.7では、各周波数でAnとBnを並べて示していました。 これでは、サンプリングした位置によって別の図になってしまいます。そこで、P=√（An2+Bn2)という数値で振幅を示すことにします。そうすると、左右いずれの場合も28となります。この数値を使えば、どこで切り出してきても合成波ｆ（ｔ）の周波数特性を１つの図で表すことができるわけです。
いかがでしょうか？ マイクで音をサンプリングして、音の強さ（振幅）の時間変化をデータにすれば周波数解析できます。「FFTアナライザ」で検索すると、フリーソフトもあるようです。FFTとはFast Fourier Ｔransformの略で、高速フーリエ変換を意味します。上述の計算を高速に実行して周波数特性を瞬時に描く装置です。