材料の変形や熱分布などの解析に用いられている「有限要素法（FEM: Finite Element Method）」については、35年以上も前から興味があり、本ブログでも取り上げてきましたが、実際に使用したことがないので、なかなか身につかないで、種々の本を読んでは途中で断念してきました。 今回「大学生が書いた有限要素法きょうか書」（著者：多数 発行所：秀和システム）という本の出会い、この本なら最後まで読めそうな感触を得ています。 皆さんも、一緒に勉強してみませんか？ 過去のブログは「何事も地道に蓄積していけば見えてくる」「有限要素法の中身」「FEMでこんなことが可視化できる」「まだまだ腑に落ちない」
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p.1 FEMで登場する数式について説明されています。 いろいろ説明されていますが、耳慣れない「拡大係数行列」だけピックアップしておきます。連立方程式の解を得る際に用いる行列のことです。具体例をみれば、見たことがあると思います。
p.2 FEMでは三次元空間の処理が多いので３重積分がよく登場します。エネルギー密度が与えられた場合、空間における総エネルギー量を３重積分で計算する事例です。順番に計算していけば簡単に算出することができます。
p.3 FEMの流れは、①モデリング→②解析→③結果の出力です。モデリングにおいては、ＣＡＤ（設計ソフト）を用いて物体形状を作っていきます。その際に、ビーム・シェル及びソリッド等の要素で分割（メッシング）します。解析時には、拘束条件が必要になります。壁で支えられた片持ち梁（水泳のジャンプ台のようなもの）では、壁との接点は動けないので、拘束条件を設定します。
p.4 解析には、歪と応力の関係式を用いますが、主に線形である弾性領域で行うことが多いです。解析した結果は、データで格納あるいは「コンター図」で見える化します。
p.5 FEMは要素に分割して解析するので、梁のある断面における力を考える必要があります。左上のように２点で支持された梁の真中を上から押した場合、赤線の断面では、上下方向のせんだん力と曲げモーメントが働いています。要素を切り出した場合は右下のように力が釣り合っています。
p.6 左図をご覧ください。３つのパターンで力を与えた場合の、変形量を示しています。 FEMでは、解析結果を変形量で示すことが多いです。右図は片持ち梁に荷重Pをかけた時のたわみ量の式です。
p.7 片持ち梁のたわみ量を計算します。p.6の2階微分の式を両辺積分します。1回積分した式をΘとおき、不定係数C1が含まれます。2回目の積分がたわみ量υです。ここでも不定係数C2が含まれます。ｘ＝Lの位置つまり壁と接している部分では梁は動けないので、たわみ角Θ及びたわみ量υいずれも０となります。これが拘束条件と呼ぶものです。これより不定係数C1とC2が計算できるので、たわみ量υに代入してｘの位置におけるたわみ量が計算可能となります。
今のところ、理解できています。明日辺りが山かな？