管理図の係数をどのように計算するのかについて、以前から疑問を持っていました。下記サイトには計算式が掲載されており、参考URLが示されております。これらの情報を基に、私なりにまとめてみました。
参考にしたWebサイト → https://opeo.jp/library/onepoint/calc/calc_method/ccc_calc/
まとめた資料はこちら → 管理図係数
p.1 以前「大事になる前の予防」で説明した資料の一部を再掲します。上方管理限界（UCL)の式を見ると、（Xのダブルバー）＋A2×（Rのバー）になっています。通常は、右下の表で該当するサンプルサイズｎのＡ２の値を用いると説明し、表がない場合は、平均値＋３σ/√ｎで計算してもよいと説明しました。なぜ、これでよいのかについては、説明できていませんでしたので、現時点で理解できたことを次ページ以降説明していきます。
p.2 左下図とUCLの式をご覧ください。管理図のUCLは母集団からサンプリングした標本のデータを用いて設定します。ｎ個ずつサンプリングした標本の平均値が、ｘ１バー、ｘ２バー‥‥ｘｎバーの時、これら平均の平均が標本平均の平均値（ｘダブルバー）です。標本平均は緑色の分布となり、その標準偏差を標準誤差SEと呼び母分散の標準偏差σを√ｎで割った値になります。左下図をご覧ください。（ｘダブルバー）＋３×標準誤差（σ/√n）の値が上方管理限界UCLの位置になります。下限管理限界LCLは、（ｘダブルバー）－３×標準誤差（σ/√n）の位置となります。母分散に比較して、標本平均の分布の分散は小さいので、UCLあるいはLCLは母分散よりも必ず内側になりますので、アラートレベルとして利用できるわけです。手計算しかない時代は、標準誤差ではなく範囲Rの値を用いて計算する係数A2あるいはd2が考案されたようです。3つ目と4つ目の式を用いて、範囲R、σ及び√ｎを関連付けています。範囲Ｒとσの比を表す新たな係数d2が登場してきます。範囲Ｒもσも分布の拡がりを示す値ですね。左下のイメージが大事ですね。
p.3 矢印で示したd2を求める算出式は、複雑で、以下の資料で説明されていますが、直ぐには理解できないので、順番に読み解いていこうと思います。興味がある方は、以降お読みください。
d2算出式に関する文献 → 範囲
p.4 確率変数、確率分布及び累積分布関数について説明します。１～100の数字のカードをランダムに引いてきた場合の確率分布をf(x)とおきます。どのカードを引いても確率は1/100で一様ですね。次に累積分布関数F(x)をみます。例えばF(5)は、５以下のカードを引く確率ですので、F（1)～F（5)を加算した５×（1/100）となります。F(50）～F（39）は、40～50のカードを引く確率となります。（50－39）×（1/100）で算出します。当然100以下のカードを引く累積分布関数F（100）は１ですね。
p.5 確率変数 X1,…,Xnが最大値ｘ以下である確率は累積分布関数F(x)で表すとF(x)ｎです。最小値ｘ以上である確率は、1 －{1－F(x)}nとなります。この形は、p.3のｄ２の式に含まれていますね。
p.6 正規分布の確率分布関数f(x)を−∞から∞まで積分したものを累積分布関数F(x)とするとF(−∞)=0、F(∞)=1となりますね。先ず、大きさnのサンプルxiの最大値xL の期待値を求めます。期待値は右表のように各々の確率変数Xとその確率P（X)を掛けて合計した値です。最大値の期待値は、緑の確率に各々の変数xiを掛けて足し合わせて求めます。緑の確率は、xiが最大値で、それ以外のn-1個のxj （i≠j）がxi以下になる確率です。p.5でこの形になることを示しました。Σを外してｎが現れますので、F(x)nの微分形としてまとめます。最小値の期待値も同様に式を変形していきます。
p.7 p.3を再掲します。最大値と最小値の期待値より範囲Rの期待値を算出します。１つ目の式に部分積分を適用して、式を変形していきます。次に、確率変数xが元の変数Xの平均μと標準偏差σによって、 x=(X-μ)/σと標準化された値のとき、Xの範囲の期待値R ̅と標準偏差σの関係を求めます。右下図をご覧ください。右側の分布を標準化した分布が左のグラフです。わかりやすくするため、X=σの位置にするとｘ＝１となります。累積分布関数F(x)が標準正規分布の場合、一番下の式で表され、F(x)は右下図の水色の面積の確率に相当します。標準化前の面積F(X)は、標準化後の面積F(x)のσ倍であることが明らかです。以上により、範囲Rバーとσの関係に係数d2が使われていることがわかります。