「最初からコレですか？」で取り上げた田口先生の論説「品質工学の数理」の第１章を読み終えました。かなり骨が折れる内容でした。先生の言わんとしていることはまだ十分ではありませんが、資料にまとめておきます。
資料はこちらです → 品質工学の数理１_2乗和の分解と行列
p.1 品質工学に頻出するデータの「全出力の２乗和（平方羽）ST」を２次形式に当てはめると、係数は０と１となります。yiとyjの掛算においてiとjが同じ場合の係数は１です。それ以外の組み合わせの係数は０です。STの係数は１のみですね。２次形式の係数のマトリクスが「随伴行列」で、STの場合は、対角線が１となる単位行列となります。
p.2 データの平均値からズレの平方和が「誤差の変動Se」です。平均値のyバーを式に代入して、式を変形していきます。式の途中に青枠で囲まれたところがSe=ST −Smであることを示しています。この式を変形すると、右下ST＝Sm＋Seとなります。この式も、品質工学でよく登場してきます。式をさらに変形して２次式の係数でまとめると(n-1)/nと−2/nが係数となることがわかります。対角線が(n-1)/n、それ以外は−2/nを２分の１にした−1/nのマトリクスとなることがわかります。
p.3 ST＝Sm＋Seをはイメージ図で表した方が理解が早いので図示しました。y１＝５、y２＝４そしてy３＝３というデータの目標値mが０とします。データの平均値yバーは４です。表とグラフを見ていただければ、数値の意味はわかると思います。各々の差分の２乗和（平方羽）を計算するとST＝Sm＋Seの関係式が成り立っています。自由度は表の右にコメントしておきます。分散は各２乗和を自由度で割って算出します。
p.4 以上は、目標値が一定値の場合の話でした。今度は、比例式からのズレを評価する事例です。右下のグラフのように、データyiがあった場合、比例式y＝βMからのズレはyi−βMiで表されます。左側は品質工学での誤差変動 Seを求め、最小になる条件を求めています。右側は、最小二乗法で勾配を求める方法を示しています。式の誘導は異なりますが、結果はいずれも同じ勾配βになります。
p.5 誤差変動Seを２次形式の係数でまとめます。青枠はSTの係数なので、p.1と同様単位行列です。赤枠内の随伴行列は、データのx成分Miの積で表されます。品質工学ではMiを信号因子と呼びますね。信号因子の平方和をrとおきます。
p.6 データ（Mi、yi）が（１、１）（２、５）および（３、８）とします。 Sβは、比例式上のyiの２乗和です。ST、SβおよびSeを計算した結果を下表にまとめました。各々90、82.５及び2.5となり、ここでも、ST＝Sβ＋Seが成り立っています。
p.7 Seを随伴行列を用いて表すと、Me=E−Mβです。MβとMeが直交する時、MβMe＝Mβ（E−Mβ）＝ Mβ−Mβ２＝０、Mβ２＝Mβが成り立つ必要があります。随伴行列で実際計算してみると、成り立っていることが証明されます。
直交すれば、２乗和に分解できること田口先生は示したいと思います。分解できれば、信号とノイズの比であるSN比で議論ができるようになります。信号が大きく、ノイズが小さくなるパラメータの水準を探せば良いことになります。次回は第２章を取上げますが、これもざっと眺めた感じでは理解に骨が折れそうです。理解するには、実際に手を動かして計算してみることとイメージ図に描いてみると良いと思います。今回、紙に数式を書いて実際に計算してみました。上記のイメージ図は、理解しやすいように私が描いてみたものです。
今回勉強した田口先生の論説はこちら → 1_２乗和の分解