「秘書問題」とか「結婚問題」とか呼ばれている数学の問題があります。最良の秘書や結婚相手はどのタイミングで決めればよいかという問題です。
資料をご覧ください → 累乗その２
p.1 問題は「ｎ人の応募者が並んでいて、一人ずつ面接して最高の秘書を選ぶとき、最初のｒ人は様子をみるだけ、ｒ＋１番目から審査する。１～ｒの最良の人より評価が高い人を採用する。ｒを何人にするのが最適か？判断は、面接毎に決定する。最高の秘書を選ぶ確率を求めよ。」です。 １～ｒ番目の中で一番良い人を先ず選んでおき、ｒ＋１番目以降は、その人より良ければ即採用します。ｎ人の中から最高の人を選ぶ確率を求める問題です。 このような問題の場合は、少ない人数から場合分けして考え、一般化させます。 応募者ｎ=1の場合は、当たり前ですが即決ですね。ｎ＝２の場合、優秀な人を１とすると、並びの最初に来る場合（１ ２）と書きます。2番目に優秀な人１がくる場合は（２ １）と表します。様子を見る人数ｒ＝０、つまり様子を見ず１番目で決める場合、優秀な人１を選ぶ確率は1/2です。一人様子を見る場合ｒ＝１で、ｒ＋１＝２番目で決めますが（２ １）の場合成功ですのでやはり1/2の確率となります。ｎ＝３の場合は、優秀な人を１、次点が２、3番目の人を３として、場合分けすると並びの順番は６通りあります。ｒ＝０～２について、資料をご覧ください。
p.2 一般化します。右上の図を見ながら、式を作っていきます。赤丸が一番優秀な人、緑丸は１～ｒ番目の中で優秀な人です。何も考えずに優秀な人を選ぶ確率は１／ｎです。したがって、ｒ＝０つまり一番最初の人を採用する場合はこの１／ｎとなります。ｒ≧１の場合、優秀な１の人が１～ｒ番目にいる場合は、見過ごしてしまったので、確率は０です（図の①）。優秀な１の人がｒ＋１番目にいる場合は、即選ぶので確率は１で、１／ｎを掛けて１／ｎとなります（②）。以下、③、④、⑤のようになります。 １番優秀な人が１～n番目に並ぶ確率を全て合計してとします。
p.3 ｎ＝５のときにＳ０～Ｓ４を計算してみます。応募者５人の場合はｒ＝２の時に確率が約４３％と高くなります。2人まで見て３人目以降で秘書を選定するのが優秀な人材を採用する最適確率となります。 応募者を変えて計算した結果を表にまとめています。ｎ数が大きくなると、ある数字に収束していくようです。
p.4 総和の式は近似的にＳｒ＝(r/n)（logｎ－logｒ）となることが数学的に説明可能です。 この式をｒで微分して極大値を求めると、r=ｎ/ｅの時に1/eとなる。ｎを変えても極大値は同じ1/e≒0.3678となります。N=50と100のグラフをご覧ください。50人の場合は、18人まで様子見して19人以上で、18人の中で良かった人より優れた人を採用すると約37％成功することになります。
結婚問題も同じですが、ｒ番目までに良い人がいても諦めなければならないことが条件です。 実際は数学の世界と違いますので、この通りで決めないようにしてくださいね。