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最確数法や昨日の二項分布において一番確率が大きいピークの位置つまり「最尤値」を求めたいことがあります。

資料ご覧ください →   最尤法

p.1 「100回投げて80回表がでる確率L(p)が最大となるイカサマコインの表が出る確率pを求よ」という問題です。通常のコインは、表裏が出る確率が五分五分ですが、100回に80回表が出るようなイカサマコインがあったとします。 このコインの表の出る確率はいくつかという問題です。

p.2 二項分布の式両辺の対数をとり、pで微分します。上述のL(p)が最大となるのは、微分したものを0として計算していくと、p=r/nの時にL(p)が最大となります。 このp値がL(p)を最大にする「もっともらしい値」つまり「最尤値」なのです。

p.3 上述の問題の結果p=0.8となります。L(p)をpについてプロットしたグラフをみるとp=0.8に最大値があり、計算結果と一致していることが確認できます。

p.4 昨日の資料にもあったコイン不良品の入った製品の事例において、確率P(r)が最大になるrを求めたいことがあります。上述p.2、3とは話が違います。横軸がrですので、二項分布の式をrで微分して0にする必要があります。数学が得意な方は直ぐできるかもしれませんが、今回私は解けませんでしたので、Excelのソルバーを用いたやり方を説明します。 今までも何度か登場していますね。過去のソルバーに関するブログは「Excelのソルバー使ったことありますか?」「識別式設定の原理」「もっともらしいのは?」 今回の手順は①P(r)を求める二項分布の式が入っているセルの番地をソルバーの「目的セル」に入れます。②「変更セル」に求めたい「r」を入れるセルの番地を指定します。最初はrのセルに0を入れておきます、③今回はrを0から8まで変化させるので制約する不等号を「追加」のボタンをクリックして入力してください。④「オプション」をクリック ⑤「GRG非線形」のシートを選んで、マルチスタートにチェックしてOk ⑥「解決」「Ok」をクリックすると、最初0にしておいたrに数値が入りP(r)の数値も変化します。 左の表rを変化させてコイン及び不良品の事例についてP(r)を計算したもので、下のグラフがプロットしたものです。 ソルバーで最尤値を計算した結果と合っていることがわかりますね(黄色の塗り潰し部分)。

今日は最尤値の算出を計算あるいはソルバーを用いて求めてみました。

 

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