ある制約条件の下で、関数の極値を求める方法として「ラグランジュの未定乗数法」を説明します。 この方法は、物理だけでなく機械学習や経済にも応用されています。是非、この手法をマスターしてください。 風邪で熱っぽいせいか、いつもよりも難しい問題がイメージできるような気がしています。
資料ご覧ください → ラグランジュの未定乗数法
p.1 「ｘ２+ｙ２＝１の条件下でｘ+ｙの最大値を算出せよ」という高校生レベルの問題は、どうやって解きますか？ ｘ+ｙ＝Cという直線を動かして、半径１の円に接する場合のｘとｙを求めます。 この場合は、接線と直角に交差する原点を通る直線がｘ＝ｙであることを利用すると簡単に、算出できます。
p.2 上述の問題を「ラグランジュの未定乗数法」という方法で解く手順を書きました。①ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘ＋ｙ、ｇ（ｘ、ｙ）＝ｘ２＋ｙ２−１＝０として、F(λ、ｘ、ｙ）＝ｆ（ｘ、ｙ）－λ・ｇ（ｘ、ｙ）という関数を作ります。 ②このFをλ、ｘ及びｙで偏微分してゼロとします。 ③三つ式ができますので、これらからλを算出します。 ④λを用いてｘ及びｙを求めます。
p.3 何も考えずに、p.2の手順で計算していくと、λ＝±√２/２、ｘ＝ｙ＝±√２/２と算出できます。 これを図にしてみました。 ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘ＋ｙとう平面が黄色のものです。縦軸ｚ＝ｆ（ｘ、ｙ）にします。この（ｘ+ｙ）平面は、（１，０，０）（０，１，０）（１，１，２）を通ります。ｇ（ｘ、ｙ）＝ｘ２＋ｙ２－１＝０は、下に凸の縄文式土器をイメージしてください。（０，０,-1）に壺の底があり、同心円状に粘土を半径を徐々に大きくしながら積み上げていきます。 この壺は、ｘｙ平面の原点に中心を持つ半径１の円を含みます。この絵では、ピンク色で描いています。この壺をｆ（ｘ、ｙ）の平面で切断した切り口が赤の楕円形です。ｇ（ｘ、ｙ）＝ｘ２+ｙ２-1＝０という拘束条件は、（ｘ+ｙ）平面上で取り得るｘおよびｙは赤の楕円上だけという意味です。この赤の楕円中のｘ及びｙの最大値（●）は、先ほど計算したｘ＝ｙ＝±√2/２であることが直感でもイメージできますね。 ラグランジュの未定乗数法は、複雑な曲面についても応用できますので、非常に有用です。
p.4 ｆ（ｘ、ｙ）＝４ｘｙがｇ（ｘ、ｙ）＝x2/a2＋y2/b2－１＝０の制約条件の下で、最大値を求よという問題もp.2の手順で解くと簡単に解けます。
今日は、手順だけ説明しました。明日は、ラグランジュの未定乗数法の原理的な説明ができればと思います。