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行列が物事をシンプルにする?

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主成分分析」で次元を下げるという話をしました。 これと同じかどうか私には不明ですが、数学には「写像」という手法があります。この「写像」を用いて変換すると次元が下がるのですね。 私の年代は、行列写像について習ってきていないので新鮮に感じます。 この概念面白いです。 フーリエ変換固有ベクトルに出てきた「射影」も写像なのですね。 皆さんはご承知かもしれませんが、私の頭の整理のため、以下にまとめてみました。写像の一つの事例紹介です。

資料はこちら → 写像

左側のxy座標内にある点(x、y)に行列(-1 2 2 -4)を掛けて変換したものを(X,Y)として、XY座標内Y=-2Xという直線をひきます。X=0、Y=0を代入して、解いていくとy=(1/2)xという直線の式が得られます。 つまり、xy座標y=(1/2)xという式に行列(-1 2 2 -4)を掛けて変換したものは(X,Y)=(0,0)なのです。直線が(0,0)1点になってしまうのです。

次は、xy座標y=(1/2)x+Kという直線を考えます。y=(1/2)xKだけ平行移動した直線群です。これを満たすのは(x、y)(x、y)・・と無数あります。yー(1/2)xにこの座標の値を入れると全てKになります。 したがって[X Y]=[2K -4K]となり、これはXY座標系では、直線Y=ー2X上の点になります。以上のことより、xy座標上の直線は、XY座標ではに、xy平面XY座標では直線になります。次元が1つ下がりました。

面白いと思いませんか? 行列をかけると物事がシンプルになるのです。

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