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煮ても焼いても変わらない関数は?

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このところ3回にわたり「フーリエの冒険」を基に、進めています。 本日は、以前に説明した「オイラーの公式」を導出する手順を、この本を参考に説明いたします。今日で、10章(430ページのうち349ページ)まで終了し、あと3章残すだけになりました。あともう一息です。

資料はこちら → オイラーの公式2

p.1 微分しても積分しても同じ元と同じ関数をご存知ですか? 理系の方は直ぐ思い出しますね。左上の図を見てください。y=2xをxで微分するとy’=2、y=xを微分するとy’=2xですね。グラフでは元の関数を青線微分したものを赤線で描いています。明らかに微分したものは異なっています。 それではy=aを微分するといかがでしょうか? 微分するとy’=(lna)aという式になります。a=2あるいはa=3として元の関数微分した関数をグラフにしました。a=3の関数y=3微分前後の差が小さいですね。a=2の関数y=2の場合とy=3の場合では微分した関数の位置が反対にあります。ということは、微分しても元の関数と同じになるのはaが2と3の間にあり、3に近い数字であることが推測されます。 正解はa=2.71828182・・・の時に微分しても同じ関数になります。この2.71828182・・・を「と表します。数学には円周率と共に頻出する不思議な値です。 したがって、微分しても積分しても元の関数と同じものはy=exという関数なのです。 この本のいいところは、このように絵でイメージをつけさせてくれるところです。

p.2 y=eaxという関数を1階微分するとy’=a・eax、2階微分はy’’=a2・eax、・・n階微分するとy(n)=aneaxとなります。y=eixの場合は、1階微分がy=ieix、2階がy=-eix、3階がy=-ieix、4階がy(4)=eixとなり、元の関数に戻ります

p.3 テーラー展開とかマクローリン展開という式を見たことがありますか? 学生時代に見た覚えがありますが、どう使うか?まで教えてくれなかったのですが、この「フーリエの冒険」を読んで使い方がよく理解できます。関数f(x)の式が高次のxの関数の場合、係数a0、a1、a2・・・をどうやって求めるか? 微分してはx=0を入れていけば順番に係数が求まっていきます。 フーリエ展開で係数を求めていくのに似ていますね。

p.4 マクローリン展開を実際にcosxsinxで実行してみます。各々4階微分まで実施してx=0を代入して係数を求めています。1つおきに係数が0になっています。

p.5 今度はcosx+isinxという関数を4階まで微分して係数を算出してみます。そうすると、係数は1、i、-1、-i、1となり4階目で元の1に戻ります。この形、どこかで見覚えありませんか? p.2でeixを微分した時の係数そのものです。このことから、eix=cosx+isinxが成り立ちます。 この式が有名な「オイラーの公式」と呼ばれているものです。 この式が意味するところは、xをθにした右の図そのものです。eは、いろいろなところに出現してきます。

今は面白くないかもしれませんが、興味が出てくるかもしれません。eは、フーリエ変換の仕上げに再登場してきます。

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