統計の本を最初から読むと直ぐに眠くなってしまい、途中で断念することを繰り返してきました。 最近は、一つの本を隅々まで読むことはやめて、いろいろな本を流し読み回しして、理解しやすい部分だけピックアップするようにしました。 理解し難いところは、それ以上突っ込まずにそのままにしておくと、そのうちに「そうなんだ」という説明に当たることがよく起きます。
先ずは「統計量」の話をします。「統計量」を理解すると、「統計的検定」の理屈がわかってきます。 以前の説明資料でも説明していますが、復習として見てください。
資料はこちら → 統計量
分布は「平均値」と「ばらつき（分散あるいは標準偏差）」の２つの要素で表すことが可能です。
p.2 体重測定の結果が、平均体重が60kg、標準偏差10kgの正規分布であったとします。平均60kgにピーク、左右の変曲点が50kgと70kgにある釣鐘状の分布として描けます。
p.3 統計量を説明します。
統計量＝（数値－平均値）÷標準偏差 の基本式は重要です。分布の形態により、多少変形はありますが、覚えてください。
統計量を算出する操作のことを「基準化」とか「標準化」と呼びます。
いろいろな体重について、統計量を算出してみます。
体重60kgの場合、上式の数値に60kgを代入すると、統計量＝（60kg-60kg）÷10kg＝0
同様に、70kgの場合： 統計量＝（70kg-60kg）÷10kg＝1
同様に、80kgの場合： 統計量＝（80kg-60kg）÷10kg＝2
同様に、90kgの場合： 統計量＝（90kg-60kg）÷10kg＝3
同様に、30kgの場合： 統計量＝（30kg-60kg）÷10kg＝－3
上の計算式にkgという単位が入っているのに気が付きましたか？ （学校教育でも、単位を入れて計算する習慣を教えてくれると有難いのですが） 算出結果には単位がありません。 無次元なのです。平均値50kg、標準偏差10kgの分布を、平均値0、標準偏差１の分布に置き換えたことになります。この分布が「標準正規分布」と呼ばれているもので、統計量の数値をみれば何％の人が存在するかの確率がわかるのです。
p.4 統計量１、２及び３の下に片側0.341、0.477及び0.498と記載してあります。釣鐘の面積を１（100%）とした時、統計量0～１（黄色）の部分の面積が0.341、0～２の面積が0.477そして0～3までの面積が0.498を示しています。下の３つの図は、黄色の部分の面積を２倍して%表示にした数値（確率）を記載しています。 平均値±σ（標準偏差）には68%、平均値±2σには95.4％、平均値±3σには99.7%存在します。 σの前についている数字が上述で計算した統計量の１、２及び３なのです。 平均値60kg、σ＝10kgを代入すると、平均値±３σ＝60kg±3×10kg＝60kg±30kgとなり、 つまり体重30kg～90kgの人数は、全体の99.7%いることになります。 どんな平均値、標準偏差の分布のものでも、平均値0、標準偏差１に置き換え、統計量を算出することにより、対象の数値が分布のどの辺りに位置するかわかります。 このように比較し易くする操作を「基準化」「標準化」と呼ぶのです。
「偏差値」は、例えば、国語や算数のテスト結果を同じ土俵に乗せる手段です。 偏差値＝{（数値－平均値）÷標準偏差}×10＋50＝統計量×10＋50つまり、平均値を50点にして、σを10点にした分布に合わせた数値なのです。 科目により平均値や標準偏差が異なっても、同じ土俵（偏差値）で評価しようというものです。 99.7％に入る偏差値は、統計量が±３ですから、±3×10＋50＝20または80、つまり偏差値20以下と80以上の人は、100－99.7＝0.3％しか存在しないのです。
p.5 標準正規分布表の見方を説明します。 統計量ｚは左端の列と上段になります。上段は小数点以下の値です。統計量１.00、2.00及び3.00はピンクの枠の数値を読み取ります。この数値は片側の確率ですので、両側では２倍にします。これが上述のp.4の値です。 「有意水準0.05（５％）で片側検定する」場合は、確率（面積）＝0.5-0.05＝0.45（50-5＝45％）になりますので、0.45に近い数値を表の中から探します。.44950（赤枠）が一番近いので、左列と上段よる統計量ｚ＝1.64となります。「有意水準0.05で両側検定する」場合は、確率（面積）＝0.5-0.025＝0.475（50-2.5＝47.5％）となるので、.47500（赤枠）を探し統計量ｚ＝1.96となります。
Excelで確率(面積）を求める関数は、「NORM.S.DIST(z, TRUE)」です。ｚに統計量を入れてください。 統計量ｚを求める関数は、「NORM.S.INV(α）」です。αに0.05（片側５％）あるいは0.025（両側５％）を入れてください。
いかがでしたか？ この統計量の意味がイメージできれば、次に説明する「統計的検定」の半分以上理解できたと思います。