昨日、「流束」のイメージできましたでしょうか？ 今日は、「インプット−溜まり−消失＝アウトプット」の関係式を用いて、偏微分方程式を作成する手順を説明します。
資料をご覧ください。 → 偏微分方程式その２
p.1 このページが理解できれば、P.2、3、６及び７ページは少し手直しするだけで作成できてしまいます。ｘｙｚの直交座標に直方体があります。直方体の底面（ｚ＝０）からｚ上に上がった平面に質量流束Jz/ｚがインプットし、さらに上にΔｚ上の平面から質量流束Jz/ｚ+Δｚがアウトプットします。Jzの後ろにある記号/ｚあるいは/ｚ+Δｚは、ｚ及びｚ+Δｚの位置を示しています。平面の面積がS、Δｚ移動するのに要する時間はΔｔとすると、SΔｔが微小体積（青と緑の平面で挟まれた薄い直方体の体積）です。溜まり（C/t+∆t−C/t）はこの微小体積にある物質濃度や温度変化分を示しています。今回消失分はゼロとして、「インプット−溜まり−消失＝アウトプット」の式に代入します。 ｔに関する項を左辺、ｚに関する項を右辺に移項します。ｔ及びｚを無限小にすると微分方程式になります。流束Jｚが濃度勾配に比例する式を微分方程式に代入して整理したものが、右下の式です。左がｔによる１階微分、右辺はｚによる２階微分になっています。
p.2 前ページの質量流束を熱流束に変えます。Jがｑに、CがTに、Dがｋに置き換わり、「ρCp」が定数として付加されます。
p.3 運動量流束の場合です。Jがτz、Cがｖｘに、Dがμに置き換わり「ρ」が定数として付加されます。
p.4 p.1～３の式を並べてみると類似していることがわかります。定数項を１つの文字にすると良く似た式になり、定数項の単位は[ｍ２ｓ]と同じになります。上述の微小体積に単位ですね。この式は放物線（ｙ＝ｘ２）型と呼びます。形が似ているだけで、２乗しているわけではありません。２階微分ですので。この型の微分方程式を解く際には、真中以下に例を示したように、左辺は１個、右辺は２個の「境界条件」が必要になります。
p.5 ３つの微分方程式の境界条件を例として書いておきます。
p.6 p.1～３は直角座標でしたが、ここは円筒座標の式を導きます。キュウリを冷蔵庫で冷やす例です。キュウリの中心の熱が半径ｒの方向に放熱していきます。また長さ方向をｚ軸とした場合、キュウリの長さL方向でも同様な熱流束が生じます。キュウリの内部での溜まりが青字で示す式です。p.1と同様に式を変形していきます。p.2の最後の２つの式を比較してみてください。1/rがついた式が余分に加算されています。 これは、半径ｒが増加する部分を補正する部分になります。
p.7 球状のスイカを冷蔵庫で冷やす場合の式導出です。手順はまったく同じです。1/rの代わりに（2/r）+（Δｒ/ｒ２）となりますが、（Δｒ/ｒ２）はゼロに収束します。最後の式は、円柱座標系の２倍になっていますね。ｒの拡がりが円柱より大きいことを意味します。
式の導出は面倒ですが、流れはわかってもらえましたでしょうか？ コンピュータに計算は任せるにしても、原理は知っておいてほしいと思います。