「基礎からわかるアルゴリズム」（著者：パノス・ルリダス 発行所：ニュートン新書）から「Google行列」について紹介します。Googleの検索は必ず結果を出してくれます。その理屈です。
資料をご覧ください → アルゴリズムその２
p.1 先ずページランクの定義です。検索ページが①～⑤ある場合、矢印が引用先を示しています。ページ２は、ページ３と５を引用（ここでは重要性としています）しています。ページ３の重要性は、ページ２，４および５からの投票あるいはリンク数によって決まります。
p.2 各ページのリンク状況を行列で表します。行がOUT、列がINと考えれば、行列は直ぐ作れます。3行目は、ページ３がリンクを貼っているページを示しています。数字の１がリンクあり、０がリンクなしです。３列目は、ページ３がリンクを受けているページを示しています。 各行の和で、その行の数値を割った行列が「ハイパーリンク行列」です。各行の和は１になります。ページ①のページランクは列１の数値を用いて表されます。
p.3 初期状態の各ページの重要性は、全て「1/n」としておきます。初期状態をベクトルで示します。このベクトルにハイパーリンク行列Hを掛けて、1回目のベクトルがπ１、2回目がπ２、３回目がπ３となっていきます。 ページ１～３が図のようにリンクされている事例で計算してみます。先ず、ハイパーリンク行列Hを作成します。続いて、初期状態の各ページのベクトルを（1/3、1/3、1/3）とおいて、1回目～３回目のベクトルを計算した結果、３回目でベクトルの成分が全て０になってしまいます。これ以上、検索してもページ③で止まってしまうのです。飛び先がないためです。このノード③のことを「ぶら下りノード」と呼びます。わがままノード、ブラックホールとも呼びます。
p.4 ぶら下りノードのベクトル成分の計算結果を右上に示します。ここから抜け出すためには、全て０の行列に数値を等分に入れます。今回は1/3を入れます。ベクトル成分の再計算値を表にすると、値が収束することがわかります。ページ③の重要性は変わっていません。
p.5 左図のようなリンク状態の場合、ベクトルを計算すると、下表のようにページ①と④が０になってしまいます。つまり、赤枠の中から抜け出せなくなってしまうのです。
p.6 行列の中に０があると抜け出せなくなるため、行の和は１として、数値を入れ込みます。この行列を「グーグル行列」と呼びます。この計算結果を表に示します。数値の入れ込み方は、数学的に求めますが、まだ理解できていないので省きます。
ループにはまってフリーズしないように、いろいろな手法が開発されているようです。最適解を求める際にも、極小ではなく最小値を求めるようにジャンプする方法がありましたね。