最確数法の説明でポアソン分布は後日説明するとしましたが、先に「二項分布」について説明します。
資料はこちら → 二項分布→ポアソン分布
Excelファイル → ポアソン分布
p.1 以前のブログ「悩ましい抜取検査数の設定」の添付資料の再掲です。二項分布を赤白玉で説明しています。赤玉をｒ個取り出す確率を場合分けして求めると２項分布の式と一致します。
p.2 左がコインを８回投げて表が出る確率を２項分布の式で算出し、グラフにしてあります。表裏が出る確率は五分五分なので８回投げると４回表がでる確率が多いことは直観でも予測できますね。一方、不良率20％の製品１０個づつの箱に分けた場合、1箱に２個不良が入る確率は一番高いことも２項分布の式から求められます。統計によく出てくる「期待値」と言われるのが、この分布のピークのことを言っています。 期待値ｎｐは、「n：試行回数」と「ｐ：確率」の掛算です。コインの事例の期待値np＝8×（1/2）＝４、右の製品の期待値np＝10×0.2＝２と計算され、ピーク位置と一致します。期待値は分布の平均値と考えてください。
p.3 成功と失敗が互いに独立している場合「ベルヌーイ試行」と呼び、ｎ回繰り返し成功する離散的（飛び飛び）確率分布があったとします。この分布の「期待値」と「分散」が４行目以下記してあります。1回だけ試行した分布の期待値=p、分散＝p（1−ｐ）となります。 以前にばらつき（分散）をてんびんで説明しました。ブログ「統計を敬遠する方、理解したい方へ」をご覧ください。 今回は、２項分布の期待値及び分散を天秤で考えてみましょう。真中の図をご覧ください。０から１までの確率の天秤を考え、期待値（平均）の確率をｐとします。サイコロの１が出たとき１、それ以外の目が出たときは０という点数をつけます。１が出る確率はｐ（＝1/6）、それ以外出る確率（1-ｐ）です。期待値は、点数×確率の和で求めます。次に、平均からの距離（偏差）の２乗を求めます。１の目が出る場合は（1-ｐ）２、それ以外の目の場合は（0－ｐ）２＝ｐ2 で表されます。各々の確率を重みとしてかけて足し合わせたものが分散になります。平均ｐの周りのモーメントの和だと思ってください。ｎ回試行の場合は、ｎ倍するので、期待値＝np、分散=np（１−ｐ）になります。
p.4 コインを４回投げた際、表が出る期待値はnp=２なので、２回が期待される回数となります。確率が1/2なので直ぐ予想できますね。ではサイコロを200回投げて１がでるのは？np＝200×（1/6）≒33.3回、分散より標準偏差を求めるとσ＝5.27です。 グラフに描いてみました。33.3回にピークがある釣鐘状の分布になります。試行回数が増えると正規分布に近づいていきます。 実際は、離散（飛び飛び）的な分布です。
p.5 n=20の場合の分布は、左の方にシフトしてきますね。 ｎ数を変えてプロットしてみます。ｎ数を増やしていくと２項分布は綺麗な釣鐘状つまり正規分布に近づいていくのです。ピークの幅（分散）は拡がっていき、ピーク高さも低くなっていきます。
p.6 「ポアソン分布」は、２行目の式で表されます。試行回数ｎを５、20、40、60及び100回、確率ｐは0.5と0.05と変化させて２項分布とポアソン分布を描いてみます。右の上5個のグラフがｐ＝0.5、下の５個のグラフがｐ＝0.05の場合で、青が２項分布、オレンジ色がポアソン分布です。左の２つのグラフは、２項分布とポアソン分布の高さの差を描いています。「np≤5 n>50のとき近似可能 」であることがわかると思います。ｎが大きくて、ｐが小さい時に、ポアソン分布は２項分布と近似してきます。
p.7 ２項分布の式を変形していき、ｎ→∞とするとポアソン分布の式に導くことが可能です。
以上のように、2項分布のｎを大きくすると正規分布、小さくするとポアソン分布になりますので、２項分布は大事な分布ですね。