不偏分散はなぜｎでなくn-1で割るかについては、数学的な説明やイメージ的なものいろいろあります。「不偏分散のイメージは？」や「少しずつわかってくる」などでも何回か取り上げてきました。今回は、ｎ数が少ない方からアプローチしてみたいと思います。
資料はこちら → 不偏分散その３
p.1 平均値がμの母集団からｘ１とｘ２という成分2個をサンプリングして標本にします。サンプリングによって、一番上のように（ｘ１－ｘbar）２が大きい場合もあれば、下二つのように小さい場合もあります。標本の平均値xbarからの差の平方和を変形すると、ｘ１とｘ２の差が分散の大きさと連動していることがわかります。分散は通常、（平均値xbarからの差の平方和）÷ｎで表されますが、ｎ=2のときに、（標本の平均値xbarからの差の平方和）を２で割ると分散が小さく計算されてしまうのが図からのイメージです。そこで、標本の分散は（平均からの偏りの平方和）÷（n-1）として「不偏分散」と呼ぶことにします。「－１」で小さくならないように補正するわけです。
p.2 一番上の式、つまり「平均からの偏りの平方和の期待値＝(n-1）×σ２」が証明できれば、標本の分散＝（平均からの偏りの平方和）÷（n-1）が言えます。n=2の場合、式を変形していくと、最終的に一番下の式が誘導されます。途中の黄色の網掛の誘導結果は重要な関係式です。
p.3 n=3の場合も同様に変形していくと、最終的に一番下の式が誘導されます。 以上の事より、分散＝σ２＝（平均からの偏りの平方和）÷（n-1）であることが証明されました。
今回また、スッキリしないアプローチでした。「ｎとn-1でどのくらい差が生じるの？」で検討したようにｎ数増やせば「－１」の影響が少なくなりますので、あまり気にしないようしようかなと思います。