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波の観測時間が短いと周波数特性はどうなるか?

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−∞~∞までの時間波を観測することは不可能なので、Δtという時間に観測した波についてフーリエ変換を試みます。

資料参照 → フーリエ変換

p.1 例えば、-Δt/2~Δt/2までの区間でf(t)=1となる関数をフーリエ変換します。f(t)=1を代入して積分するとG(f)=sin(πf・Δt)/πf

p.2 分子、分母にΔtをかけます。すると、sinθ/θに似た式なので、極限limをとって周波数fを0にすると1に収束しますので、f=0ではG(f)=Δtとなります。理想は、f=0で1本の線が立つグラフです。

p.3 Δt=1、2、4そして1000を代入してG(f)のグラフを描いてみました。f=0のy値はΔtに合っていますが、余分な周波数の波も描いています。f=0近辺のΔfを比較すると、Δtの増加と共にΔfは小さくなっていきます。 ∞大にすると1本の直線になるのでしょう。 Δtは観測している時間です。観測している時間が短いと「不確定さ」が大きいということになります。当たり前といえば、そうですが。 ただし、波のパターンは似ていませんか?

いかがでしたか? 周期的な波でない場合、無限時間観測せずとも、フーリエ変換すれば、ある程度波の周波数特性は予測できそうです。 いよいよ明日が最終章の「FFT」の話です。FFTとは、高速フーリエ変換のことです。周波数アナライザー内の演算で用いられています。

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