過去ブログ「正常、異常をどう数値で判断するか？」「MTシステムの活用例」で、「MTシステム」を紹介しました。前者のブログの添付資料に出てくる計算式において、対角が１の相関係数行列の逆行列を掛けています。 この意味が知りたくて、長らく悶々としていました。相関係数が関係しそうなことは、何となく感じるところがありました。 主成分分析の原理を見ているうちに、このことと関係しそうな突破口が見えてきました。
資料はこちら → マハラノビス距離
p.1 上述した今回の目的です。
p.2 これ以降、式の羅列で申し訳ありません。Aという行列はθ回転させる行列です。ここでa２＋ｂ２＝１です。2行目は昨日の復習です。青の行列が「分散・共分散行列」λが「固有値」です。昨日の主成分分析では、主成分の軸への投影だけを考えましたが、今回は第１主成分の軸に直交する第２主成分への投影も考えます。第１主成分の軸uへの投影をui、第２主成分の軸ｖへの投影をviとします。元のｘｙ平面での座標（xi、yi）を用いて表せます。これらも「分散・共分散行列」と各々の固有値で２つの式で表せます。λｐ及びλｑは分散と同じですので、（uk、vk）と（un、vn）2点間の距離はピタゴラスの定理により、（uk－un）を標準偏差√λｐで除した基準化距離と同様に（vk－vn）を標準偏差√λｑで除した基準化距離を各々二乗して足して、その平方根にした式となります。この式を行列にして変形していきます。転置行列と行列の積の間に赤字の行列が入ります。
p.3 このページは、uとvの座標を元のｘとｙに書換えをしています。行列Pとその転置行列PTで式を簡略化します。行列Dとその逆行列を定義します。一番下のような簡略化した式となります。
p.4 ここでは、SP=PDとP-1＝PTとなることを証明しています。「分散・共分散行列」をSと定義しました。
p.5 最終的に、p.3の式にあるP・D-1・PT＝S-1が導かれました。つまり、「分散・共分散行列」の逆行列になりました。
p.6 距離を基準化すると平均値が０、標準偏差が１になりますので、分散VxもVyも１。相関係数ｒは共分散をｘとｙの標準偏差で除したものなので、ｒ＝Sxyとなります。これを分散・共分散の逆行列に代入すると、最初に目的とした式になりました。
回り道したような気がしますが、なんとか目的の式になりました。 もっと簡単な方法があるかもしれませんが。 最近、行列、転置行列及び逆行列の使い方を少し理解できてきたから、ここまでの式変形が理解できるようになりました。皆さんも、わかるまで理解の糸を手繰り寄せましょう。