「主成分分析」で次元を下げるという話をしました。 これと同じかどうか私には不明ですが、数学には「写像」という手法があります。この「写像」を用いて変換すると次元が下がるのですね。 私の年代は、行列や写像について習ってきていないので新鮮に感じます。 この概念面白いです。 フーリエ変換や固有ベクトルに出てきた「射影」も写像なのですね。 皆さんはご承知かもしれませんが、私の頭の整理のため、以下にまとめてみました。写像の一つの事例紹介です。
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左側のｘｙ座標内にある点（ｘ、ｙ）に行列（－1 2 2 －4）を掛けて変換したものを（X,Y)として、XY座標内でY=－２Xという直線をひきます。X=0、Y=0を代入して、解いていくとｙ＝（1/2）ｘという直線の式が得られます。 つまり、ｘｙ座標のｙ＝（1/2）ｘという式に行列（－１ ２ ２ －４）を掛けて変換したものは（X,Y)=（０，０）なのです。直線が（０，０）１点になってしまうのです。
次は、ｘｙ座標でｙ＝（１/2）ｘ＋Kという直線を考えます。ｙ＝（1/2）ｘをKだけ平行移動した直線群です。これを満たすのは（ｘ１、ｙ１）（ｘ２、ｙ２）・・と無数あります。ｙー（1/2）ｘにこの座標の値を入れると全てKになります。 したがって［X Y］＝［２K －４K］となり、これはXY座標系では、直線Y=ー２X上の点になります。以上のことより、ｘｙ座標上の直線は、XY座標では点に、ｘｙ平面はXY座標では直線になります。次元が１つ下がりました。
面白いと思いませんか？ 行列をかけると物事がシンプルになるのです。