昨日、分布の平均値や分散をベイズ統計で推定する方法を説明しました。続きです。
資料はこちら → ベイズ統計11
p.1 分布の平均値は、θと確率密度関数の積を積分してθの期待値つまり分布の平均値が計算されます。分布の分散は(θ-平均値)2と確率密度関数の積を積分して分散の期待値が計算できます。量子力学のところでも同様な式が出てきて、その際分母は１でした。事後分布=定数×尤度×事前分布という形になることは覚えておきましょう。
p.2 平均値や分散を算出する式は積分が含まれており、計算が複雑になります。積分を簡略化するために、事後確率分布と事前確率分布は同じ形の分布関数であるとして「自然共役分布」を適用します。
p.3 「自然共役分布」の事例は既に昨日説明しました。事前も事後も正規分布であると仮定して計算を進めています。この場合、正規分布を自然共役分布として利用しています。
p.4 数値解析の手法であるMCMC（Markov chain Monte Carlo methods）法を用いて、平均値や分散を算出する方法を説明します。 以前に円周率を求めるモンテカルロ法を説明をしました。 求める正規分布関数f(θ)に従うｎ個の乱数θ1,θ2,⋯⋯,θnを用いて計算したS(θ)の平均値よりS(θ)の期待値が求まります。
p.5 問題「平均値150、分散102の正規分布に従う乱数1,000個を用いて、S(θ) =θ=平均値μ、 S(θ) =(θ-μ)2 =分散となるかを確認せよ」は、Excelで平均値は「NORMINV(RAND(),150,10)」、分散は「(NORMINV(RAND(),150,10)-149.3)2」の関数で1,000個の乱数を発生させて各々平均値を算出すると求めることができます。
分布の平均値や分散をベイズ統計を用いて算出する方法を取り上げました。AIが統計的に解析する手段として、ベイズ統計は有用な方法ですね。