前回、シュレディンガー方程式を解いて、箱内の自由粒子のエネルギー準位を計算して量子化していることを確認しました。今回は箱内の存在確率を計算してみます。
資料はこちら → 量子力学その4
p.1 「量子力学的な粒子が第３励起状態にある時、粒子がL/12から３L/12のあいだの領域にある確率を求めよ」という問題です。右図のような存在確率になっています。存在確率は、共役する２つの波動関数の掛算の絶対値です。第３励起状態はψ３のように存在しています。L/12～３L/12の区間で積分して図の青色の面積を計算すると（1/6＋1/３π）となります。次に3L/12～5L/12の区間で積分すると（1/6－1/３π）となります。イメージ図は右の上から２つ目の図です。古典的な存在確率は1/6ですが、量子的な存在確率は場所によって変動しています。
p.2 それでは、自由粒子は平均的にどこに存在しているのか位置を求めてみます。物理量の期待値（平均値）は左上の式で求められます。 分子は物理量を共役する波動関数で挟んで積分したもの、分母はトータルの存在確率なので１となるので、分子だけ計算すればよいことになります。 波動関数を代入して計算しますが、sinの2乗をcosにする公式及び部分積分の公式を用いて変形していきます。久しぶりに手計算してみました。 この結果、位置の期待値はL/2となり、平均的には真中に存在することが確かめられました。
p.3 以前説明した宝くじの平均的な賞金額も期待値です（再掲）。上述の期待値の計算方法と同様です。
統計の確率の話が、量子力学に出て来てリンクしていることを実感できうれしくなりますね。 今まで、実際に計算することは避けてきましたが、やってみると面白いですね。複雑な計算結果が意外と単純な結果になることを見ると。