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どのタイミングで決める?

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秘書問題」とか「結婚問題」とか呼ばれている数学の問題があります。最良の秘書結婚相手どのタイミングで決めればよいかという問題です。

資料をご覧ください → 累乗その2

p.1 問題は「n人の応募者が並んでいて、一人ずつ面接して最高の秘書を選ぶとき、最初のr人は様子をみるだけ、r+1番目から審査する。1~rの最良の人より評価が高い人を採用する。rを何人にするのが最適か?判断は、面接毎に決定する。最高の秘書を選ぶ確率を求めよ。」です。 1~r番目の中で一番良い人を先ず選んでおき、r+1番目以降は、その人より良ければ即採用します。n人の中から最高の人を選ぶ確率を求める問題です。 このような問題の場合は、少ない人数から場合分けして考え、一般化させます。 応募者n=1の場合は、当たり前ですが即決ですね。n=2の場合、優秀な人をとすると、並びの最初に来る場合( 2)と書きます。2番目に優秀な人がくる場合は(2 )と表します。様子を見る人数r=0、つまり様子を見ず1番目で決める場合、優秀な人を選ぶ確率は1/2です。一人様子を見る場合r=1で、r+1=2番目で決めますが(2 )の場合成功ですのでやはり1/2の確率となります。n=3の場合は、優秀な人を、次点が2、3番目の人を3として、場合分けすると並びの順番は6通りあります。r=0~2について、資料をご覧ください。

p.2 一般化します。右上の図を見ながら、式を作っていきます。赤丸一番優秀な人、緑丸1~r番目の中で優秀な人です。何も考えずに優秀な人を選ぶ確率は1/nです。したがって、r=0つまり一番最初の人を採用する場合はこの1/nとなります。r≧1の場合、優秀な1の人が1~r番目にいる場合は、見過ごしてしまったので、確率は0です(図の)。優秀な1の人がr+1番目にいる場合は、即選ぶので確率は1で、1/nを掛けて1/nとなります()。以下、③、④、⑤のようになります。 1番優秀な人が1~n番目に並ぶ確率を全て合計してとします。

p.3 n=5のときにS~Sを計算してみます。応募者5人の場合はr=2の時に確率が約43%と高くなります。2人まで見て3人目以降で秘書を選定するのが優秀な人材を採用する最適確率となります。 応募者を変えて計算した結果をにまとめています。n数が大きくなると、ある数字に収束していくようです。

p.4 総和の式は近似的に=(r/n)(logn-logr)となることが数学的に説明可能です。 この式をrで微分して極大値を求めると、r=n/eの時に1/eとなる。nを変えても極大値は同じ1/e≒0.3678となります。N=50100のグラフをご覧ください。50人の場合は、18人まで様子見して19人以上で、18人の中で良かった人より優れた人を採用すると約37%成功することになります。

結婚問題も同じですが、r番目までに良い人がいても諦めなければならないことが条件です。 実際は数学の世界と違いますので、この通りで決めないようにしてくださいね。

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