正常な状態から病気になったり機械が故障する場合、生存率や正常率が低下する曲線となります。先日「打切りデータも考慮」で取り上げた生存曲線がそうですね。以前、「図を描くと見えてくる」「係数の大小でいろいろな情報が得られる」で「ワイブル曲線」や「バスタブ曲線」を説明しました。今回、「ハザード関数」について、補足説明します。
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p.1 α＝1.3、β=2のワイブル確率密度関数f(t)を「=WEIBULL(A5,α,β,FALSE)」で算出します。故障がこのような確率で発生するとします。ワイブル確率分布関数F(t)を「=WEIBULL.DIST(A5,α,β,TRUE)」で求めます。S(t)を正常関数（適当に命名しました）とするとS(t)＝1-F(t)で表され、ハザード関数は、簡易的にh(t)=f(t)/{1-F(t)}=f(t)/S(t)で表すことができます。時間t=1の時に、故障が0.372の確率で起きるとした場合、累積確率は0.298、正常確率0.702、瞬間の危険な確率は0.530となります。危険な確率は、ｔの増加共に増加していきます。
p.2 図にしてみるとわかりやすいです。f(t)は形状因子αやβによって様々な形状となります。S(t)が生存曲線と同じ形状となります。ハザード関数は、時間と共に瞬間のリスクが高まることを示しています。
p.3 ハザード関数の定義は、時刻tとt+Δtの瞬間的イベント発生確率を示しますので、極限の式を用いて変形していくとh(t)=−接線の勾配／S(t)となります。Excelで計算してみると、p.1の簡易的なh(t)の式と異なる値になりますが、ほぼ類似したグラフ形状になりました。
Excelファイル → ハザード関数